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Modification of Simpson moduli spaces of 1-dimensional sheaves by vector bundles, an experimental example

Modifizierung von Simpson-Modulräumen 1-dimensionaler Garben durch Vektorbündel, ein experimentelles Beispiel

  • This thesis deals with the following question. Given a moduli space of coherent sheaves on a projective variety with a fixed Hilbert polynomial, to find a natural construction that replaces the subvariety of the sheaves that are not locally free on their support (we call such sheaves singular) by some variety consisting of sheaves that are locally free on their support. We consider this problem on the example of the coherent sheaves on \(\mathbb P_2\) with Hilbert polynomial 3m+1. Given a singular coherent sheaf \(\mathcal F\) with singular curve C as its support we replace \(\mathcal F\) by locally free sheaves \(\mathcal E\) supported on a reducible curve \(C_0\cup C_1\), where \(C_0\) is a partial normalization of C and \(C_1\) is an extra curve bearing the degree of \(\mathcal E\). These bundles resemble the bundles considered by Nagaraj and Seshadri. Many properties of the singular 3m+1 sheaves are inherited by the new sheaves we introduce in this thesis (we call them R-bundles). We consider R-bundles as natural replacements of the singular sheaves. R-bundles refine the information about 3m+1 sheaves on \(\mathbb P_2\). Namely, for every isomorphism class of singular 3m+1 sheaves there are \(\mathbb P_1\) many equivalence classes of R-bundles. There is a variety \(\tilde M\) of dimension 10 that may be considered as the space of all the isomorphism classes of the non-singular 3m+1 sheaves on \(\mathbb P_2\) together with all the equivalence classes of all R-bundles. This variety is obtained by blowing up the moduli space of 3m+1 sheaves on \(\mathbb P_2\) along the subvariety of singular sheaves. We modify the definition of a 3m+1 family and obtain a notion of a new family over an arbitrary variety S. In particular 3m+1 families of the non-singular sheaves on \(\mathbb P_2\) are families in this sense. New families over one point are either non-singular 3m+1 sheaves or R-bundles. For every variety S we introduce an equivalence relation on the set of all new families over S. The notion of equivalence for families over one point coincides with isomorphism for non-singular 3m+1 sheaves and with equivalence for R-bundles. We obtain a moduli functor \(\tilde{\mathcal M}:(Sch) \rightarrow (Sets)\) that assigns to every variety S the set of the equivalence classes of the new families over S. There is a natural transformation of functors \(\tilde{\mathcal M}\rightarrow \mathcal M\) that establishes a relation between \(\tilde{\mathcal M}\) and the moduli functor \(\mathcal M\) of the 3m+1 moduli problem on \(\mathbb P_2\). There is also a natural transformation \(\tilde{\mathcal M} \rightarrow Hom(\__ ,\tilde M)\), inducing a bijection \(\tilde{\mathcal M}(pt)\cong \tilde M\), which means that \(\tilde M\) is a coarse moduli space of the moduli problem \(\tilde{\mathcal M}\).
  • In dieser Dissertation wird die folgende Frage erörtert. Gegeben sei ein Modulraum von kohärenten Garben auf einer projektiven Varietät mit festem Hilbertpolynom, zu finden ist eine natürliche Konstruktion, die die Untervarietät der Garben, die nicht lokal frei auf ihrem Träger sind (solche Garben nennen wir singulär), durch eine andere, aus lokal freien Garben bestehende Varietät ersetzt. Wir betrachten diese Frage am Beispiel der kohärenten Garben auf \(P_2\) mit Hilbertpolynom 3m+1. Sei \(\mathcal F\) eine singuläre kohärente Garbe mit singulärer Kurve C als Träger. Wir ersetzen \(\mathcal F\) durch 1-dimensionale lokal freie Garben \(\mathcal E\), deren Träger eine reduzible Kurve \(C_0\cup C_1\) ist, so dass \(C_0\) eine partielle Normalisierung von C ist und \(C_1\) eine zusätzliche, den Grad von \(\mathcal E\) tragende Kurve ist. Diese Vektorbündel ähneln den von Nagaraj und Seshadri betrachteten Vektorbündeln. Die in dieser Dissertation eingeführten neuen Garben (wir nennen sie R-Bündel) behalten viele Eigenschaften der singulären 3m+1 Garben. Wir betrachten R-Bündel als einen natürlichen Ersatz für die singulären Garben. R-Bündel präzisieren die Informationen über 3m+1 Garben auf \(\mathbb P_2\). Es gibt nämlich \(\mathbb P_1\) viele verschiedene Äquivalenzklassen für jede Isomorphieklasse von singulären 3m+1 Garben. Es gibt eine Varietät \(\tilde M\) der Dimension 10, die als Raum aller Isomorphieklassen der nicht singulären Garben und aller Äquivalenzklassen von R-Bündeln betrachtet werden kann. Diese Varietät entsteht durch die Aufblasung des Modulraums von 3m+1 Garben auf \(\mathbb P_2\) entlang der Untervarietät der singulären Garben. Wir modifizieren die Definition einer 3m+1 Familie und bekommen für jede Varietät S einen neuen Begriff einer Familie über S. 3m+1 Familien der nicht singulären Garben auf \(\mathbb P_2\) sind Familien dieser Art. Neue Familien über einem Punkt sind entweder nicht singuläre 3m+1 Garben oder R-Bündel. Für jede Varietät S wird auf der Menge aller R-Bündel über S eine Äquivalenzrelation eingeführt. Der Äquvalenzbegriff für die Familien über einem Punkt stimmt mit dem Isomorphiebegriff für nicht singuläre 3m+1 Garben und mit dem Äquivalenzbegriff für R-Bündel überein. Wir konstruieren einen Modulfunktor \(\tilde{\mathcal M}:(Sch)\rightarrow (Sets)\), der jeder Varietät S die Menge der Äquivalenzklassen von R-Bündeln über S zuordnet. Eine Beziehung zwischen \(\tilde{\mathcal M}\) und dem Modulfunktor \(\mathcal M\) des 3m+1 Modulproblems auf \(\mathbb P_2\) wird durch eine natürliche Transformation der Funktoren \(\tilde{\mathcal M}\rightarrow \mathcal M\) festgelegt. Es gibt auch eine natürliche Transformation \(\tilde{\mathcal M}\rightarrow Hom(\__,\tilde M)\), die eine Bijektion \(\tilde{\mathcal M}(pt)\cong \tilde M\) induziert, was \(\tilde M\) zu einem groben Modulraum des Modulproblems \(\tilde{\mathcal M}\) macht.

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Metadaten
Verfasserangaben:Oleksandr Iena
URN (Permalink):urn:nbn:de:hbz:386-kluedo-23342
Betreuer:Günther Trautmann
Dokumentart:Dissertation
Sprache der Veröffentlichung:Englisch
Jahr der Fertigstellung:2009
Jahr der Veröffentlichung:2009
Veröffentlichende Institution:Technische Universität Kaiserslautern
Titel verleihende Institution:Technische Universität Kaiserslautern
Datum der Annahme der Abschlussarbeit:07.05.2009
Datum der Publikation (Server):14.05.2009
Fachbereiche / Organisatorische Einheiten:Fachbereich Mathematik
DDC-Sachgruppen:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 510 Mathematik
MSC-Klassifikation (Mathematik):14-XX ALGEBRAIC GEOMETRY / 14Dxx Families, fibrations / 14D20 Algebraic moduli problems, moduli of vector bundles (For analytic moduli problems, see 32G13)
Lizenz (Deutsch):Standard gemäß KLUEDO-Leitlinien vor dem 27.05.2011