## Model Reduction of Nonlinear Problems in Structural Mechanics: Towards a Finite Element Tyre Model for Multibody Simulation

### Modellreduktion nichtlinearer Probleme in der Strukturmechanik: Auf dem Weg zu einem Finite-Elemente-Reifenmodell in der Mehrkörpersimulation

• This thesis shows an approach to combine the advantages of MBS tyre models and FEM models for the use in full vehicle simulations. The procedure proposed in this thesis aims to describe a nonlinear structure with a Finite Element approach combined with nonlinear model reduction methods. Unlike most model reduction methods - as the frequently used Craig-Bampton approach - the method of Proper Orthogonal Decomposition (POD) offers a projection basis suitable for nonlinear models. For the linear wave equation, the POD method is studied comparing two different choices of snapshot sets. Set 1 consists of deformation snapshots, and set 2 additionally contains velocities and accelerations. An error analysis proves no convergence guarantee for deformations only. For inclusion of derivatives it yields an error bound diminishing for small time steps. The numerical results show a better behaviour for the derivative snapshot method, as long as the sum of the left-over eigenvalues is significant. For the reduction of nonlinear systems - especially when using commercial software - it is necessary to decouple the reduced surrogate system from the full model. To achieve this, a lookup table approach is presented. It makes use of the preceding computation step with the full model necessary to set up the POD basis (training step). The nonlinear term of inner forces and the stiffness matrix are output and stored in a lookup table for the reduced system. Numerical examples include a nonlinear string in Matlab and an airspring computed in Abaqus. Both examples show that effort reductions of two orders of magnitude are possible within a reasonable error tolerance. The lookup approaches perform faster than the Trajectory Piecewise Linear (TPWL) method and produce comparable errors. Furthermore, the Abaqus example shows the influence of training excitation on the quality of the reduced model.
• Diese Arbeit präsentiert einen Ansatz, die Vorteile von MKS-Reifenmodellen mit denen von FEM-Modellen zu verbinden, so dass diese in der Gesamtfahrzeugsimulation genutzt werden können. Die hier vorgeschlagene Methode besteht darin, die nichtlineare Struktur mit FE zu diskretisieren und mit nichtlinearer Modellreduktion zu behandeln. Im Gegensatz zu vielen Modellreduktionsmethoden (wie die in MKS übliche Craig-Bampton-Methode), kann mit dem Verfahren der Proper Orthogonal Decomposition (POD) eine Projektionsbasis erstellt werden, die sich auch für nichtlineare Modelle eignet. Diese Methode wird für die lineare Wellengleichung analysiert, wobei zwei verschiedene Snapshot-Mengen verglichen werden. Set 1 besteht nur aus Snapshots der Deformation, während Set 2 zusätzlich Geschwindigkeiten und Beschleunigungen enthält. Durch eine Fehlerabschätzung kann die Konvergenz von Set 2 nachgewiesen werden, die von Set 1 jedoch nicht. In numerischen Ergebnissen wird dieses Verhalten bestätigt, sofern die Summe der nicht berücksichtigten Eigenwerte hoch ist. Zur Reduktion eines nichtlinearen Modells - speziell im Zusammenhang mit kommerzieller Software - ist es notwendig, das reduzierte Ersatzmodell vom ursprünglichen vollen Modell zu entkoppeln. Dazu wird ein "Lookup Table"-Verfahren vorgestellt. Hierfür wird der vorangehende Berechnungsschritt mit dem vollen Modell verwendet, der zur Berechnung der POD-Basis nötig ist (Trainingsschritt). Der nichtlineare Term der inneren Kräfte und die Steifigkeitsmatrix werden gespeichert und bilden ein Lookup Table für das reduzierte System. Als numerische Beispiele werden eine nichtlineare schwingende Saite in Matlab und eine Luftfeder in Abaqus präsentiert. Beide Beispiele zeigen, dass innerhalb angemessener Fehlergrenzen zeitliche Einsparungen von zwei Größenordnungen möglich sind. Die vorgeschlagenen "Lookup Table"-Verfahren sind hierbei bei ähnlichem Fehlerverhalten schneller als die Trajectory Piecewise Linear (TPWL) Methode. Ferner zeigt das Beispiel aus Abaqus, welchen Einfluss die Trainingsanregung auf die Qualität des reduzierten Modells hat.