Computational Modeling of Biomechanical Phenomena - Remodeling, Growth and Reorientation

  • The main concern of this contribution is the computational modeling of biomechanically relevant phenomena. To minimize resource requirements, living biomaterials commonly adapt to changing demands. One way to do so is the optimization of mass. For the modeling of biomaterials with changing mass, we distinguish between two different approaches: the coupling of mass changes and deformations at the constitutive level and at the kinematic level. Mass change at the constitutive level is typically realized by weighting the free energy function with respect to the density field, as experimentally motivated by Carter and Hayes [1977] and computationally realized by Harrigan and Hamilton [1992]. Such an ansatz enables the simulation of changes in density while the overall volume remains unaffected. In this contribution we call this effect remodeling. Although in principle applicable for small and large strains, this approach is typically adopted for hard tissues, e.g. bone, which usually undergo small strain deformations. Remodeling in anisotropic materials is realized by choosing an appropriate anisotropic free energy function. <br> Within the kinematic coupling, a changing mass is characterized through a multiplicative decomposition of the deformation gradient into a growth part and an elastic part, as first introduced in the context of plasticity by Lee [1969]. In this formulation, which we will refer to as growth in the following, mass changes are attributed to changes in volume while the material density remains constant. This approach has classically been applied to model soft tissues undergoing large strains, e.g. the arterial wall. The first contribution including this ansatz is the work by Rodriguez, Hoger and McCulloch [1994]. To model anisotropic growth, an appropriate anisotropic growth deformation tensor has to be formulated. In this contribution we restrict ourselves to transversely isotropic growth, i.e., growth characterized by one preferred direction. On that account, we define a transversely isotropic growth deformation tensor determined by two variables, namely the stretch ratios parallel and perpendicular to the characteristic direction. <br> Another method of material optimization is the adaption of the inner structure f a material to its loading conditions. In anisotropic materials this can be realized by a suitable orientation of the material directions. For example, the trabeculae in the human femur head are oriented such that they can carry the daily loads with an optimum mass. Such a behavior can also be observed in soft tissues. For instance, the fibers of muscles and the collagen fibers in the arterial wall are oriented along the loading directions to carry a maximum of mechanical load. If the overall loading conditions change, for instance during a balloon angioplasty or a stent implantation, the material orientation readapts, which we call reorientation. The anisotropy type in biomaterials is often characterized by fiber reinforcement. A particular subclass of tissues, which includes muscles, tendons and ligaments, is featured by one family of fibers. More complex microstructures, such as arterial walls, show two fiber families, which do not necessarily have to be perpendicular. Within this contribution we confine ourselves to the first case, i.e., transversely isotropic materials indicated by one characteristic direction. The reorientation of the fiber direction in biomaterials is commonly smooth and continuous. For transverse isotropy it can be described by a rotation of the characteristic direction. Analogous to the theory of shells, we additionally exclude drilling rotations, see also Menzel [2006]. However, the driving force for these reorientation processes is still under discussion. Mathematical considerations promote strain driven reorientations. As discussed, for instance, in Vianello [1996], the free energy reaches a critical state for coaxial stresses and strains. For transverse isotropy, it can be shown that this can be achieved if the characteristic direction is aligned with a principal strain direction. From a biological point of view, depending on the kind of material (i.e. bone, muscle tissue, cartilage tissue, etc.), both strains and stresses can be suggested as stimuli for reorientation. Thus, whithin this contribution both approaches are investigated. <br> In contrast to previous works, in which remodeling, growth and reorientation are discussed separately, the present work provides a framework comprising all of the three mentioned effects at once. This admits a direct comparison how and on which level the individual phenomenon is introduced into the material model, and which influence it has on the material behavior. For a uniform description of the phenomenological quantities an internal variable approach is chosen. Moreover, we particularly focus on the algorithmic implementation of the three effects, each on its own, into a finite element framework. The nonlinear equations on the local and the global level are solved by means of the Newton-Raphson scheme. Accordingly, the local update of the internal variables and the global update of the deformation field are consistently linearized yielding the corresponding tangent moduli. For an efficient implementation into a finite element code, unitized update algorithms are given. The fundamental characteristics of the effects are illustrated by means of some representative numerical simulations. Due to the unified framework, combinations of the individual effects are straightforward.
  • Ziel der vorliegenden Arbeit ist die numerische Implementierung biologisch relevanter Phänomene. Wie anhand zahlreicher Beispiele gezeigt werden kann, paßt sich (lebendes) biologisches Gewebe in der Regel seiner Belastung an. Eine Art der Anpassung ist beispielsweise die Optimierung der Masse. Die Masse eines Körpers wird sowohl durch die Dichte als auch durch das Volumen des betreffenden Materials bestimmt. Deshalb wird in dieser Arbeit unterschieden zwischen Umbau (remodeling) im Sinne reiner Dichteänderung bei konstantem Volumen und Wachstum (growth) im Sinne reiner Volumenänderung bei konstanter Dichte. Wie bereits im 19. Jahrhundert von von Meyer [1867], Culmann [1866], Roux [1895] und Wolff [1892] untersucht wurde, hängt beispielsweise die Knochendichte von der mechanischen Belastung ab. Dabei führen größere Spannungen zu einer Erhöhung der Dichte, während Unterbelastung, zum Beispiel infolge langer Bettlägerigkeit oder Schwerelosigkeit im Weltall, zu einer Abnahme der Knochendichte führen kann. Während Umbauvorgänge im gesunden Körper zu einer Optimierung der Masse führen, sind sie bei Implantateinsätzen häufig von Nachteil. Da das Implantat in der Regel eine höhere Steifigkeit als der zu ersetzende Knochen besitzt, übernimmt es einen größeren Anteil an der Lastabtragung, als der Knochen im natürlichen Zustand. Infolgedessen bildet sich der Knochen, der das Implantat umgibt, zurück, was zu einer Lockerung der Prothese führt. Derartige Umbauvorgänge werden in der Mechanik üblicherweise auf konstitutiver Ebene formuliert, beispielsweise durch Wichtung der freien Energiefunktion mit der Dichte, wie von Harrigan und Hamilton [1992] vorgeschlagen und von Carter und Hayes [1977] experimentell unterlegt wurde. Mögliche anisotrope Materialeigenschaften werden analog zu reiner Elastizität über die freie Energie realisiert. Wenngleich dieser Ansatz auch für große Verzerrungen geeignet ist, wird er aufgrund biologischer Motive meist eher für harte Gewebe wie beispielsweise Knochen verwendet, welche kleinen Verzerrungen ausgesetzt sind. In weichen Geweben, wie Muskeln, Sehnen, Bändern oder Knorpelgeweben führt eine steigende mechanische Belastung in der Regel zu einer Volumenzunahme, also Wachstum. Ein offensichtliches Beispiel hierfür sind Muskeln, welche infolge stärkerer Belastung wachsen, sich bei geringerem Training jedoch zurückbilden. Während dies beim sportlichen Muskelaufbau gewünscht ist, kann Wachstum jedoch auch zu einer krankhaften Hypertrophie des Herzens oder zu Verdickungen der Arterienwände nach einer Stent-Implantation führen. Kontinuumsmechanisch läßt sich ein derartiges Wachstum auf kinematischer Ebene einführen. Basierend auf den Ideen von Skalak u.a. [1982] und Rodriguez, Hoger und McCulloch [1994] wird die totale Deformation hierfür multiplikativ in zwei Anteile zerlegt: einen reinen Wachstumsanteil und einen rein elastischen Anteil. Eine analoge Zerlegung wurde erstmals von Lee [1969] eingeführt, um finite Deformationen im Rahmen der Elastoplastizität zu beschreiben. Die Beschreibung des Wachstums erfolgt damit über einen zweistufigen Wachstums-Deformationstensor. Um anisotropes Wachstum zu implementieren, muß dieser entsprechend definiert werden. Anisotropie wird in biologischen Geweben häufig durch Faserverstärkung hervorgerufen, charakterisiert durch eine oder mehrere Faserrichtungen. Im Rahmen dieser Arbeit beschränken wir uns auf Materialien mit einer ausgezeichneten Faserrichtung, also transversal isotrope Materialien. Der transversal isotrope Wachstums-Deformationstensor wird im wesentlichen durch zwei Kennzahlen beschrieben. Diese werden als Verzerrungsgrade parallel und orthogonal zur Faserrichtung bezeichnet. Eine weitere Art der Anpassung anisotroper Gewebe an äußere Belastungen kann durch Umorientierung (reorientation) der inneren Ausrichtung erfolgen. Dies kann beispielsweise im menschlichen Femurkopf beobachtet werden, in dem die Knochenbälkchen derart orientiert sind, daß sie der täglich auftretenden Belastung mit einem Optimum an Masse standhalten. Auch in weichem Gewebe wie der Arterienwand oder Muskelgewebe richten sich die Kollagen- oder Muskelfasern entlang der Belastungsrichtungen aus. Ändert sich die Belastung, zum Beispiel infolge einer Stent-Implantation, so paßt sich das Material durch Umorientierung der Fasern den geänderten Randbedingungen an. Für transversal isotrope Materialien kann dieser Prozess durch eine Rotation der ausgezeichneten Richtung beschrieben werden. Wie von Menzel [2006] vorgeschlagen, schließen wir dabei Verdrillung aus. Wodurch die Umorientierung gesteuert wird, ist bis heute nicht eindeutig erforscht. Aus mathematischer Sicht läßt sich eine Umorientierung entlang Hauptverzerrungen motivieren. Wie Vianello [1996] gezeigt hat, erreicht die freie Energie einen stationären Zustand, wenn die Spannungen und Verzerrungen koaxial sind. Für transversale Isotropie ist dies der Fall, wenn die Faserrichtung parallel zu einer der Hauptverzerrungsrichtungen zeigt. Aus biologischer Sicht jedoch läßt sich, abhänging vom Material, sowohl eine verzerrungs- als auch eine spannungsgetriebene Umorientierung motivieren, weshalb in der vorliegenden Arbeit diese beiden Fälle betrachtet werden. Die drei Aspekte Umbau, Wachstum und Umorientierung werden zunächst in einer umfassenden kontinuumsmechanischen Materialformulierung zusammengefaßt. Dies umschließt die Beschreibung der Kinematik, der Bilanzgleichungen und des Materialgesetzes. Wie bereits erwähnt, erfolgt dabei die Modellierung von Wachstum auf kinematischer Ebene durch eine Zerlegung der totalen Deformation in einen wachstumsbeschreibenden und einen elastischen Anteil. Dies beinhaltet die Einführung einer im allgemeinen inkompatiblen Zwischenkonfiguration. Die materielle Konfiguration wird durch den Wachstums-Deformationstensor auf die Zwischenkonfiguration abgebildet. Die Abbildung der Zwischenkonfiguration auf die räumliche Konfiguration erfolgt mittels des elastischen Deformationstensors. Um bei der Formulierung der Bilanzgleichungen Masseänderungen, also Änderungen der Dichte und des Volumens, zu ermöglichen, wird eine Massequelle eingeführt. Ein Massefluß wird im Rahmen dieser Arbeit nicht berücksichtigt. Die Massequelle entspricht der Änderung der materiellen Dichte über die Zeit. Die Änderung der Dichte hat ebenfalls einen Einfluß auf die freie Energie und damit auf die Materialgleichungen. Wie oben erwähnt, wird die Dichteänderung über einer Wichtung der freien Energiefunktion mit der Dichte realisiert. Die Beschreibung des Umorientierungsprozesses erfolgt ebenfalls auf konstitutiver Ebene. Im Gegensatz zu sonst üblichen Formulierungen für transversale Isotropie wird hier eine zeitliche Änderung der charakteristischen Richtung zugelassen. Um die konkreten Änderungen von Dichte, Volumen und Faserrichtung zu beschreiben, werden interne Variablen eingeführt. Dies sind die Dichte, die Verzerrungsgrade und die Faserrichtung. Die Evolutionsgleichungen dieser internen Variablen müssen zusätzlich zur freien Energiefunktion matrialabhängig definiert werden. Hauptaspekt dieser Arbeit ist die Implementierung der oben diskutierten Effekte. Dafür werden die Konstitutivgleichungen für die internen Variablen so gewählt, daß Umbau, Wachstum und Umorientierung in jeweils reiner Form beschrieben werden. Infolgedessen ergeben sich drei Kapitel mit jeweils gleicher Gliederung. Zunächst werden die Evolutionsgleichungen für die internen Variablen entsprechend gewählt. Dies bedeutet für eine reine Dichteänderung, daß die Faserrichtung und die Verzerrungsgrade konstant sind. Infolgedessen wird die totale Deformation vollständig durch den elastischen Deformationstensor beschrieben und die Zwischenkonfiguration kann vernachlässigt werden. Die Dichteänderung ist gleich der Massequelle, welche definiert werden muß. Entsprechend wird zur Beschreibung reinen Wachstums, eine Dichteänderung von der materiellen Konfiguration zur Zwischenkonfiguration ausgeschlossen. Daraus folgt, daß die Massequelle eindeutig durch den Wachstums-Deformationstensor beschrieben wird. Dieser ergibt sich aus Definition der beiden Verzerrungsgrade. Die Faserrichtung ist ebenfalls konstant. Reine Umorientierung bei konstanter Masse fordert, daß die Massequelle verschwindet und die Zwischenkonfiguration gleich der materiellen Konfiguration ist. Basierend auf Starrkörperbewegungen, läßt sich zeigen, daß die Umorientierung einer Rotation der Fasern entspricht. Analog zu Annahmen in der Schalentheorie schließen wir hierbei Verdrillungen aus. Es wird sowohl eine Orientierung entlang der Hauptverzerrungen als auch eine Orientierung entlang der Hauptspannungen betrachtet. Die Implementierung erfolgt mit Hilfe finiter Elemente und gliedert sich in zwei Teile: eine lokale Berechnung der internen Variablen sowie die Bestimmung des globalen Tangentenmoduls. Um die Dichte sowie die Verzerrungsgrade aus deren Evolutionsgleichungen zu bestimmen, verwenden wir ein implizites Euler-Backward-Verfahren. Die aktuelle Faserrichtung wird dahingegen mit einem impliziten exponentiellen Verfahren berechnet. Die sich daraus ergebenden nichtlinearen Gleichungen werden mit Hilfe einer lokalen Newton-Iteration gelöst. Die entsprechenden Gleichungen werden dazu ebenso wie der globale Tangentenmodul vollständig linearisiert. Zur Bestimmung des Tangentenmoduls wird dabei die Ableitung der internen Variablen nach den Verzerrungen benötigt. Da jedoch nur die Evolutionsgleichungen der internen Variablen definiert sind, werden die gesuchten Ableitungen anhand der Ableitungen der Residuen innerhalb der jeweiligen impliziten Verfahren bestimmt. Die Lösungs-Algorithmen sind für alle drei Aspekte tabellarisch angegeben. Zur Veranschaulichung der implementierten Aspekte werden verschiedene numerische Beispiele betrachtet.

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Metadaten
Author:Grieta Himpel
URN (permanent link):urn:nbn:de:hbz:386-kluedo-21602
Advisor:Paul Steinmann
Document Type:Doctoral Thesis
Language of publication:English
Year of Completion:2007
Year of Publication:2007
Publishing Institute:Technische Universität Kaiserslautern
Granting Institute:Technische Universität Kaiserslautern
Acceptance Date of the Thesis:2007/12/12
Tag:Anisotropie ; Biomechanik ; Kontinuumsmechanik ; multiplikative Zerlegung; numerische Mechanik
anisotropy; biomechanics; computational mechanics; continuum mechanics; multiplicative decomposition
GND-Keyword:Anisotropie ; Biomechanik ; Kontinuumsmechanik
Faculties / Organisational entities:Fachbereich Maschinenbau und Verfahrenstechnik
DDC-Cassification:620 Ingenieurwissenschaften und zugeordnete Tätigkeiten

$Rev: 12793 $