Solution Methodologies for the Population Balance Equations Describing the Hydrodynamics of Liquid-Liquid Extraction Contactors

Lösungsansätze zur Beschreibung der Hydrodynamik in der Flüssig-flüssig Extraktion auf Basis von Populationsbilanzen

  • The polydispersive nature of the turbulent droplet swarm in agitated liquid-liquid contacting equipment makes its mathematical modelling and the solution methodologies a rather sophisticated process. This polydispersion could be modelled as a population of droplets randomly distributed with respect to some internal properties at a specific location in space using the population balance equation as a mathematical tool. However, the analytical solution of such a mathematical model is hardly to obtain except for particular idealized cases, and hence numerical solutions are resorted to in general. This is due to the inherent nonlinearities in the convective and diffusive terms as well as the appearance of many integrals in the source term. In this work two conservative discretization methodologies for both internal (droplet state) and external (spatial) coordinates are extended and efficiently implemented to solve the population balance equation (PBE) describing the hydrodynamics of liquid-liquid contacting equipment. The internal coordinate conservative discretization techniques of Kumar and Ramkrishna (1996a, b) originally developed for the solution of PBE in simple batch systems are extended to continuous flow systems and validated against analytical solutions as well as published experimental droplet interaction functions and hydrodynamic data. In addition to these methodologies, we presented a conservative discretization approach for droplet breakage in batch and continuous flow systems, where it is found to have identical convergence characteristics when compared to the method of Kumar and Ramkrishna (1996a). Apart from the specific discretization schemes, the numerical solution of droplet population balance equations by discretization is known to suffer from inherent finite domain errors (FDE). Two approaches that minimize the total FDE during the solution of the discrete PBEs using an approximate optimal moving (for batch) and fixed (for continuous systems) grids are introduced (Attarakih, Bart & Faqir, 2003a). As a result, significant improvements are achieved in predicting the number densities, zero and first moments of the population. For spatially distributed populations (such as extraction columns) the resulting system of partial differential equations is spatially discretized in conservative form using a simplified first order upwind scheme as well as first and second order nonoscillatory central differencing schemes (Kurganov & Tadmor, 2000). This spatial discretization avoids the characteristic decomposition of the convective flux based on the approximate Riemann Solvers and the operator splitting technique required by classical upwind schemes (Karlsen et al., 2001). The time variable is discretized using an implicit strongly stable approach that is formulated by careful lagging of the nonlinear parts of the convective and source terms. The present algorithms are tested against analytical solutions of the simplified PBE through many case studies. In all these case studies the discrete models converges successfully to the available analytical solutions and to solutions on relatively fine grids when the analytical solution is not available. This is accomplished by deriving five analytical solutions of the PBE in continuous stirred tank and liquid-liquid extraction column for especial cases of breakage and coalescence functions. As an especial case, these algorithms are implemented via a windows computer code called LLECMOD (Liquid-Liquid Extraction Column Module) to simulate the hydrodynamics of general liquid-liquid extraction columns (LLEC). The user input dialog makes the LLECMOD a user-friendly program that enables the user to select grids, column dimensions, flow rates, velocity models, simulation parameters, dispersed and continuous phases chemical components, and droplet phase space-time solvers. The graphical output within the windows environment adds to the program a distinctive feature and makes it very easy to examine and interpret the results very quickly. Moreover, the dynamic model of the dispersed phase is carefully treated to correctly predict the oscillatory behavior of the LLEC hold up. In this context, a continuous velocity model corresponding to the manipulation of the inlet continuous flow rate through the control of the dispersed phase level is derived to get rid of this behavior.
  • Der poyldisperse Charakter von turbulenten Tropfenschwärmen in gerührten Extraktionsapparaten erschwert deren mathematische Modellierung sowie das Finden von geeigneten Lösungsstrategien. Mit Hilfe von Populationsbilanzen (PBE) können solche Systeme als eine Verteilung von Tropfen mit unterschiedlichen internen Eigenschaften, z.B. Konzentration oder Temperatur, zeit- und ortsaufgelöst mathematisch beschrieben werden. Aufgrund der mathematischen Komplexität können nur für wenige Spezialfälle die PBE analytisch gelöst werden und es müssen numerische Lösungstrategien entwickelt werden. Diese Schwierigkeiten sind vor allem auf Nichtlinearitäten in den konvektiven und diffusiven Termen sowie auf die große Anzahl von Integralen in den Quelltermen zurückzuführen. In dieser Arbeit wurden zwei konservative Diskretisierungsmethoden zur Beschreibung des internen (Tropfenzustand) und des externen (Kolonnenhöhe) Koordinatensystems weiterentwickelt, um die Hydrodynamik von Flüssig-flüssig-Kontaktoren mit Hilfe von PBE effizient vorausberechnen zu können. Für die interne Diskretisierung wurde die Methodik von Kumar und Ramkrishna (1996a, b), die einfache Batchsysteme mit PBE erfolgreich beschreibt, auf kontinuierliche Prozesse erweitert und mit Hilfe von analytischen Lösungen sowie experimentellen Daten validiert. Darüber hinaus wurde eine Diskretisierungsmethode für den Tropfenzerfall in kontinuierlichen und in Batchsystemen entwickelt, die die gleichen Konvergenzeigenschaften aufweist wie die Methode von Kumar und Ramkrishna (1996a). Unabhängig von den gewählten Diskretisierungsmethoden ist die numerische Lösung von PBE immer mit Ungenauigkeiten behaftet. Daher wurden für die Minimierung des numerischen Gesamtfehlers für Batchsysteme bewegliche Gitter und für kontinuierliche Systeme fixierte Gitter eingeführt (Attarakih, Bart & Faqir, 2003a). Mit den gewählten Gittertypen konnten signifikante Verbesserungen bei der Anzahldichte sowie dem nullten und ersten Moment der Verteilung erreicht werden. Für ortsaufgelöste Tropfenverteilungen, wie sie z.B. in Extraktionskolonnen vorkommen, wurde das resultierende partielle Differentialgleichungssystem mit Hilfe eines einfachen First-Order-Upwind-Verfahrens und einem nichtoszillatorischen Differenzenverfahrens (erster und zweiter Ordnung) (Kurganov & Tadmor, 2000) örtlich diskretisiert. Diese Art der örtlichen Diskretisierung vermeidet die charakteristische Spaltung des konvektiven Stromes, wie er bei der Anwendung des Riemann Solvers oder bei klassischen Upwind-Verfahren (Karlsen et al., 2001) entsteht. Die Zeitvariable wird mittels eines stabilen, impliziten Verfahrens diskretisiert, das die nichtlinearen Anteile des konvektiven Terms sowie der Quellterme zeitlich verzögert betrachtet. Für die Verifikation der vorgestellten Algorithmen wurden analytische Lösungen der PBE für fünf Spezialfälle abgeleitet, die sowohl Tropfenzerfall als auch Koaleszenz in kontinuierlichen Rührkesseln und Extraktionskolonnen betrachten. In allen Fällen konvergierten die eingesetzten Diskretisierungsmethoden erfolgreich gegen die analytische Lösungen und auch zu Lösungen für sehr feine Gitter, für die keine analytischen Lösungen existieren. Die vorgestellten Algorithmen wurden in ein Windows-basiertes Simulationstool mit dem Namen LLECMOD (Liquid-Liquid Extraction Column Module) implementiert, um die Hydrodynamik beliebiger Extraktionskolonnen simulieren zu können. Das benutzerfreundliche Interface von LLECMOD gestattet dem Benutzer die Auswahl der Gitter, Kolonnendimensionen, Ströme, Geschwindigkeitsmodelle, Simulationsparameter, chemische Komponenten der kontinuierlichen und der dispersen Phase, sowie des Solvers für die orts-zeit-aufgelöste Beschreibung der Dispersphase. Die graphische Ausgabe erlaubt die schnelle Auswertung der Simulationsergebnisse. Darüber hinaus wurde darauf geachtet, dass das dynamische Modell auch das oszillatorische Verhalten des Dispersphasenholdups korrekt vorausberechnet

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Metadaten
Author:Menwer Attarakih
URN (permanent link):urn:nbn:de:hbz:386-kluedo-17460
Advisor:Hans-Jörg Bart
Document Type:Doctoral Thesis
Language of publication:English
Year of Completion:2004
Year of Publication:2004
Publishing Institute:Technische Universität Kaiserslautern
Granting Institute:Technische Universität Kaiserslautern
Acceptance Date of the Thesis:2004/07/01
Tag:Erhaltungsgleichungen; Hydrodynamik; Numerische Simulat; Populationsbilanzen; Tropfenkoaleszenz; Tropfenzerfall
Conservation laws; Droplet breakage; Droplet coalescence; Hydrodynamics; Liquid-liquid dispersion; Population balance
GND-Keyword:Flüssig-Flüssig-Extraktion
Faculties / Organisational entities:Fachbereich Maschinenbau und Verfahrenstechnik
CCS-Classification (computer science):I.1.2 Algorithms (F.2.1-2)
DDC-Cassification:600 Technik, Technologie

$Rev: 12793 $